Степанов В.Ф.

“АтоммашЭкспорт”, г. Волгодонск.

Анализ

координатных преобразований Иванова Ю.Н.

В книге Иванова Ю.Н. “Ритмодинамика” 2007 [1] обосновывается существование новых координатных преобразований. Конкретный вид этих преобразований можно найти на стр. 97 его книги. Они значительно отличаются от известных преобразований Пуанкаре-Лоренца [2], [3]. В связи с этим возникает много естественных вопросов:

– выполняется или нет инвариантность уравнений Максвелла по отношению к новым преобразованиям;

– можем ли мы отказаться от преобразований Пуанкаре-Лоренца и вместо них в волновых уравнениях для ЭМ поля применять координатные преобразования Иванова;

– каковы проявления этих преобразований в эффектах Допплера, в магнитных силах и т.д.;

– по каким правилам рассчитывать напряженности электрического и магнитного полей для движущегося наблюдателя;

– справедливо или нет известное релятивистское правило сложения скоростей;

Представленный ниже анализ имеет своей целью – ответить на эти вышеперечисленные вопросы. В своем анализе мы будем применять математический аппарат, обычно применяющийся в специальной теории относительности и в электродинамике. Начнем с того, что напомним общие сведения о пространствах.

1. Общие сведения о пространствах.

Рассмотрим произвольный вектор A в некотором пространстве. Этот вектор будет характеризоваться двумя типами координат: контравариантными и ковариантными. Для трехмерного пространства компоненты ковариантного и контравариантного вектора совпадают, поэтому в трехмерном пространстве нет необходимости в таком дифференцировании. Однако для псевдоэвклидова четырехмерного пространства уже появляется необходимость в таком разделении. Введем следующие обозначения:

– контравариантные компоненты вектора A

– ковариантные компоненты вектора A

При работе с матрицами, столбцами и строками можно дать следующее пояснение – конравариантный вектор наглядно и удобно представлять в виде столбца:

              (1)

– ковариантный вектор представлять в виде строки:

            (2)

Представляет значительный интерес выражение:

                 (3)

Здесь и ниже наличие в формулах двух повторяющихся индексов предполагает суммирование по этому индексу со значениями 1, 2, 3, 4.

Выражение  представляет собой скаляр и по своему содержанию он экивалентен квадрату длины вектора A. Если в пространстве определен метрический тензор, то от контравариантных компонент можно перейти к ковариантным и наоборот. К примеру: , где – метрический тензор.

Для псевдоэклидова пространства специальной теории относительности метрический тензор имеет следующий вид:

                (4a)

                (4b)

Метрический тензор задает правило нахождения квадрата произвольного вектора и это правило, к примеру, выглядит как:

В частности, в специальной теории относительности квадрат расстояния между двумя точками четырехмерного псевдоэвклидова пространства равен:

                        (5)

Интерес представляют условия, при которых длина произвольного вектора не меняется. Рассмотрим подробнее эти условия. Пусть правила преобразования компонент вектора при переходе из одной системы координат к другой имеют вид:

,  Здесь  и – матрицы преобразования

Отсюда длина вектора равна .

Для того, чтобы имело место равенство:  (квадрат вектора один и тот же в разных системах координат) требуется выполнение условия:

где  = 1 при  и =0 во всех остальных случаях. Иными словами, матрица преобразований  должна быть обратной по отношению к матрице . А по определению произведение прямой и обратной матриц равно единичной матрице. Данное требование носит общий характер и в силу этого оно применимо не только к преобразованиям Пуанкаре-Лоренца или к преобразованиям Иванова, но и к любым другим линейным координатным преобразованиям. Оно регламентирует условие, при котором длина произвольного вектора не будет меняться при линейных координатных преобразованиях. (имеются в виде линейные по компонентам этого вектора)

2. Преобразования векторов, тензоров и производных.

Пусть при переходе из системы координат К в систему координат К’ координаты преобразуются по правилу:

               (6a)

                (6b)

Умножим обе части уравнения (6a) на , проведем суммирование по индексу  и учитывая, что , мы получим правило обратного координатного преобразования для контравариантного вектора; аналогичным способом получается правило преобразования для ковариантного вектора. В результате получим:

              (7a)

               (7b)

Заметим, что по правилам (6) и (7) преобразуются только векторы при переходе от одной системы к другой. При рассмотрении правил преобразования тензоров ранга 2 можно исходить из следующего представления – свойства симметрии такого тензора точно такие, что и у произведения двух векторов. На основании этого тензор контравариантный по двум индексам будет преобразовываться точно также, как произведение двух контравариантных векторов. А тензор ковариантный по двум индексам будет преобразовываться точно также, как произведение двух ковариантных векторов. Поэтому будут справедливы следующие правила преобразования для тензора F:

                   (8a)

                      (8b)

Тензор ранга 2 в четырехмерном пространстве имеет четыре инварианта. В физике для антисимметричного тензора активно применяется следующий:

По своему геометрическому смыслу это квадрат “длины” тензора F.

Антисимметричный тензор ковариантный по трем индексам будет преобразовываться как произведение трех ковариантных векторов:

               (9a)

               (9b)

Нам понадобится еще преобразование ковариантной первой производной. В силу своей принадлежности классу ковариантного “вектора” эта производная преобразуется следующим образом:

                  (10a)

                (10b)

Выражения (10) отражают линейную зависимость операторов дифференцирования при смене системы координат. Все коэффициенты в (10) не зависят от координат точек пространства-времени – эта особенность разрешает нам относиться к оператору первой производной, как к “вектору”.

3. Координатные преобразования Пуанкаре-Лоренца.

В базисе (X, Y, Z, H), где H=cT, прямые координатные преобразования Пункаре-Лоренца имеют вид:

                   11a)

а обратные в этом же базисе равны:

                        (11b)

В базисе (X, Y, Z, T) прямые координатные преобразования Пункаре-Лоренца имеют вид:

                (11c)

а обратные в этом же базисе равны:

                      (11d)

4. Уравнения Максвелла в терминах напряженностей.

Представим вид уравнений Максвелла, когда в качестве функции поля выбираются напряженности электрического и магнитного полей.

Уравнения Максвелла в стандартном виде в пустоте имеют вид:

                               (12a)

                                           (12b)

                               (12c)

                                            (12d)

всего уравнений – восемь.

Для нашего анализа больше подходит другая эквивалентная форма этих же уравнений. Вводится антисимметричный тензор напряженностей электромагнитного поля по правилу:

          (13a)

             (13b)

С учетом введенного антисимметричного тензора напряженностей уравнения (12a) и (12b) объединяются в более компактное выражение:

          (14a)

а уравнения (12c) и (12d) объединяются в другое компактное уравнение:

                               (14b)

где  ковариантная первая производная.

5. Нахождение обратных координатных преобразований Иванова.

Вид прямых координатных преобразований нам известен по книге: “Ритмодинамика” 2007 (на стр. 97). Приведем их еще раз здесь:

                         (15)

Вместо переменной T введем переменную  и представим (15) в матричном виде:

                (16)

или в более компактном виде:

                                                                                      (17)

Здесь  является матрицей прямого преобразования:

                       (18)

Попытаемся найти обратные координатные преобразования. В общем виде задача выглядит так: нам известна матрица  прямых линейных координатных преобразований – требуется найти матрицу  обратных линейных координатных преобразований. Принципиально эта задача решается следующим образом: выделим в матрице  произвольную строку, к примеру, вторую строку и обозначим ее элементы как: A1, A2, A3, A4. Тогда имеет место следующая система линейных уравнений:

                 (19)

В этой системе имеются четыре уравнения и четыре неизвестных. Решая эту систему относительно неизвестных A1, A2, A3, A4 мы, таким образом, находим все четыре элемента второй строки матрицы . Элементы всех остальных строк находятся по этому же рецепту. Применяя этот способ мы сравнительно легко находим все элементы обратной матрицы. Представим вид найденной обратной матрицы координатных преобразований Иванова:

             (20)

Прямой проверкой легко убедиться, что произведения  и  в точности равны единичной матрице. Матрицы  и  в (20) и (18) даны в базисе (X, Y, Z, H)

В связи с этим представим вид этих матриц в базисе (X, Y, Z, T).

                     (21a)

           (21b)

Легко убедиться, что и в базисе (X, Y, Z, T) произведения  и  также равны единичной матрице.

Таким образом, успешно решается задача о нахождении обратных координатных преобразований Иванова.

6. Электрическое и магнитное поля для движущегося наблюдателя.

Тензор напряженностей F’ электромагнитного поля в движущейся системе координат выражается через тензор напряженностей F в неподвижной системе следующим образом:

                      (22a)

Переставив местами  и F получим:

                      (22b)

Записывая последнее выражение через матрицы (без индексов) приходим к более наглядному выражению:

                (22c)

где – транспонированная матрица.

Принимая во внимание структуру тензора F (13) запишем выражения для компонент напряженности электрического поля в подвижной системе координат:

              (23)

 а для компонент напряженности магнитного поля в подвижной системе координат:

             (24)

В формулах (23) и (24) отражается “смешивание” компонент напряженностей электрического и магнитного поля. Если в качестве матрицы  использовать матрицы (11a) для координатных преобразований Пуанкаре-Лоренца, то в этом случае мы получим уже известные в литературе правила преобразований напряженностей электрического и магнитного полей:

, ,               (25a)

, ,                        (25b)

Но, вообще говоря, матрица  может отличаться от матрицы (25) преобразований Пуанкаре-Лоренца, поэтому в более общем случае выражения для компонент напряженностей электрического и магнитного поля в подвижной системе координат не будут совпадать с этими известными формулами, вытекающими из преобразований Пуанкаре-Лоренца. Отличие будет наблюдаться во втором и последующих порядках по скорости подвижной системы. В этом можно убедиться, если в качестве матрицы  в (23) и (24) взять матрицу (18) для преобразований Иванова. Выполнив все расчеты по формулам (23) и (24) мы обнаружим в этом случае, что сила, действующая на движущийся электрический заряд во внешнем магнитном поле по Иванову будет выражаться формулой, отличающейся от известной формулы Лоренца (разница начиная со второго порядка по скорости). Данный физический феномен является естественным в силу свойств, присущих только пространствам Иванова.

7. Эффект Допплера.

Рассмотрим такое общеизвестное явление, как эффект Допплера для электромагнитных волн. Основное положение, которое применяется в этом случае – это инвариантность фазы волны при координатном преобразовании. Этим положением мы и воспользуемся.

Фаза электромагнитной волны, распространяющаяся в направлении , равна:

.              (26a)

В представлении четырехмерных векторов последнее выражение примет вид:

                    (26b)

где

– контравариантный 4 радиус-вектор,

– ковариантный четырехмерный волновой вектор.

В частности, . Поскольку ЭМ волны безмассовые, то для них:

=inv              (27)

Фаза (26b) электромагнитной волны должна оставаться неизменной при любых линейных преобразованиях координат. Это условие инвариантности фазы записывается в виде:

                 (28)

Требование инвариантности фазы дает нам право утверждать следующее:

если вектор  преобразуется по правилу (6a), то вектор  должен преобразовываться по правилу

                  (29a)

А условие (28) позволяет указать еще одно правило преобразования:

                 (29b)

Рассмотрим эффект Допплера для преобразований Пуанкаре-Лоренца. Положим, что наблюдатель движется в положительном направлении X, а направление из бесконечно удаленного источника света к наблюдателю составляет угол  с осью X. В целях наглядности правило преобразования вектора  запишем в матричном виде:

           (30a)

Для получения величины  в подвижной системе координат выполним “скалярное” умножение четвертой строки матрицы на правый столбец-вектор в (30a). После умножения получим, что регистрируемая частота определяется формулой:

             (30b)

Принимая, что , и упрощая последнее выражение приходим к известной формуле для эффекта Допплера:

              (30с)

При углах  или  наблюдается продольный эффект Допплера – он имеет первый порядок по скорости (линейный эффект), а при угле  наблюдается поперечный эффект Допплера – он имеет второй порядок по скорости (квадратичный эффект):

                        (30d)

Заметим, что в акустике за счет движения наблюдателя или источника волн поперечный эффект Допплера принципиально не существует, он наблюдается только на электромагнитных волнах.

А теперь перейдем к рассмотрению эффекта Допплера для преобразований Иванова. В этом случае следует различать две ситуации:

– наблюдатель движется, а источник неподвижный;

– наблюдатель неподвижный, а источник движется;

Случай 1. Правила Иванова. Наблюдатель движется, а источник неподвижный.

Положим, что наблюдатель движется в положительном направлении X, а направление из бесконечно удаленного источника света к наблюдателю составляет угол  с осью X. В целях наглядности правило преобразования вектора  запишем в матричном виде (уже для преобразований Иванова):

                (31)

Для получения величины  в подвижной системе координат выполним “скалярное” умножение четвертой строки матрицы на правый столбец-вектор в (31). После умножения получим, что регистрируемая частота определяется формулой:

Для упрощения хода анализа допустим: . Преобразовав последнее выражение, приходим к формуле эффекта Допплера для случая Иванова:

                (32a)

Проанализируем полученную формулу (32a). В частном случае  или  предсказывается продольный эффект Допплера – он имеет первый порядок по скорости (линейный эффект). C количественной точки зрения продольный эффект по Иванову отличается от продольного эффекта по Пуанкаре-Лоренцу – расхождения во втором и последующих порядках по скорости. При угле  поперечный эффект Допплера для частоты по Иванову не существует (регистрируемая частота в точности равна исходной частоте источника). Но вместо этого появляются несколько других неожиданных эффектов. К примеру, один из них:

                        (32b)

Разложим правую часть (32b) в биномиальный ряд и примем во внимание два первых члена этого ряда:

                 (32c)

 Второе слагаемое в правой части (32c) и будет отражать существо поперечного эффекта для компоненты  волнового вектора в случае преобразований Иванова.

Введем обозначения:

                (32d)

Из (32d) следует, что разница между регистрируемым волновым вектором и исходным  возрастает при увеличении угла  от 0 до 90 градусов. Помимо этого эта разница становится отрицательной при углах в диапазоне от 180 до 360 град.. Данный эффект принадлежит классу поперечных эффектов, но уже для волнового вектора.

Случай 2. Правила Иванова. Наблюдатель неподвижный, а источник движется.

Положим, что источник волн движется в положительном направлении X к наблюдателю, а направление из бесконечно удаленного источника света к наблюдателю составляет угол  с осью X. В этом случае в качестве матрицы преобразований мы должны применять матрицу (20). В целях наглядности правило преобразования вектора  запишем в матричном виде

     (33)

Для получения величины  в подвижной системе координат выполним “скалярное” умножение четвертой строки матрицы на правый столбец-вектор в (33). После умножения получим, что регистрируемая частота определяется формулой:

Для упрощения хода анализа допустим: . Преобразовав последнее выражение, приходим к формуле эффекта Допплера для случая Иванова:

    (34a)

Проанализируем полученную формулу (34a). В частном случае  или  предсказывается продольный эффект Допплера – он имеет первый порядок по скорости (линейный эффект). C количественной точки зрения продольный эффект по Иванову отличается от продольного эффекта по Пуанкаре-Лоренцу – расхождения во втором и последующих порядках по скорости. При угле  поперечный эффект Допплера для частоты по Иванову существует и выражается формулой:

                    (34b)

По своему внешнему виду формула (34b) поперечного эффекта по Иванову отличается от формулы (30d) поперечного эффекта по Пуанкаре-Лоренцу.

Правила преобразования для  и  мы не будем приводить. При необходимости их легко можно получить из (33). Скажем только, что правило для  будет содержать и продольный, и поперечный эффекты; а правило для  будет описывать только поперечный эффект.

Таким образом, в случае преобразований Иванова продольный эффект Допплера для частоты возникает в любой ситуации (движется источник или движется наблюдатель), а поперечный эффект Допплера для частоты появляется лишь когда движется источник. В случае преобразований Пуанкаре-Лоренца эти две ситуации не различаются, поэтому продольный и поперечный эффекты Допплера существуют в любой из этих двух ситуаций.

8. Правило сложения скоростей.

Пусть система отсчета K’ движется со скоростью V по отношению к неподвижной K в направлении оси X, в системе K’ частица движется также параллельно оси X со скоростью . Мы хотим узнать – как складываются эти две скорости – скорость V и скорость . Иными словами, чему равна скорость  частицы в неподвижной системе K.

Правило преобразования для приращений координат согласно (7a) имеет вид:

                     (35)

здесь

– приращение координат в неподвижной системе K

– приращение координат в подвижной системе K’.

Рассмотрим преобразования Пуанкаре-Лоренца, для них матрица  представлена в (11b). Тогда воспользовавшись (11b) для нашего частного случая получим:

                        (36a)

Из (36a) следует:

,  , ,                     (36b)

Разделим первые три равенства на четвертое:

, ,                              (36c)

Вводя обозначения: ,  и принимая во внимание равенство , находим:

                        (37)

Выражение (37) представляет собой известный закон сложения скоростей в специальной теории относительности. Этот закон принципиально нелинейный и он имеет место в пространстве скоростей. Пространства с такими необычными свойствами впервые были открыты Лобачевским.

А теперь по выше представленной схеме проанализируем преобразования Иванова. Для преобразований Иванова воспользовавшись (21b) для нашего частного случая получим:

            (38a)

Из (38a) следует:

,  , ,                 (38b)

Разделим первые три равенства на четвертое в (38b):

, ,                        (38c)

Вводя обозначения: ,  и принимая во внимание равенство , находим:

               (39)

Выражение (39) отличается от известного в СТО правила (37) сложения скоростей и представляет собой новый релятивистский закон сложения скоростей в случае координатных преобразований Иванова. Этот закон также принципиально нелинейный и он “работает” в пространстве скоростей.

Таким образом, замена координатных преобразований Пуанкаре-Лоренца на альтернативные автоматически приводит к совершенно иным релятивистским правилам сложения скоростей.

9. Особенность преобразований Пуанкаре-Лоренца и Иванова.

Существует некое упорядоченное четырехмерное многообразие. Координатные преобразования Пуанкаре-Лоренца по отношению к наблюдателю выделяют из этого многообразия множество специфических пространств – пространств Пуанкаре-Лоренца. Столько пространств, сколько существует инерциальных систем отсчета. В каждом из этих пространств имеется метрический тензор. Правила преобразования метрического тензора следующие:

                       (40a)

                       (40b)

Подставляя (11a) в (40a), а (11b) в (40b) прямой проверкой можно легко убедиться в том, что метрический тензор пространств Пуанкаре-Лоренца не зависит от параметра . Таким образом, основным достоинством пространств Пуанкаре-Лоренца является то, что метрический тензор не меняется при смене системы координат (системы отсчета). (как были единички по его диагонали, так они и будут теми же самыми в любой системе координат). Иными словами, в каждом пространстве этого множества метрический тензор один и тот же и совпадает с выражением (4).

Произвольные линейные координатные преобразования из первичного четырехмерного многообразия выделяют другое множество пространств опять же по отношению к наблюдателю. В частности, координатные преобразования (18) и (20) выделяют множество пространств Иванова. Только в одном из этих пространств (в неподвижной системе отсчета) вид метрического тензора будет точно такой, как в (4). Но во всех остальных пространствах метрический тензор будет совершенно другой. В этом также можно легко убедиться, подставляя (18) в (40a), а (20) в (40b). Иными словами, метрический тензор пространств Иванова, зависит от параметра  (скорости).

В качестве иллюстративного простого примера рассмотрим четырехмерные преобразования Галилея:

              (41a)

Вместо переменной T введем переменную  и представим (41a) в базисе (X, Y, Z, H):

                       (41b)

Введем обозначение для матрицы прямого преобразования:

                 (42)

Матрица обратного преобразования легко находится и она равна:

                                (43)

Можно убедиться, что их произведение равно единичной матрице:

Вычислим вид метрического тензора в движущейся системе отсчета. С учетом (40a) правило вычисления метрического тензора можно представить в более удобном виде:

 (44)

где  транспонированная матрица. Подставив (42) и (43) в (44) и проведя несложные вычисления с матрицами получим метрический тензор в подвижной системе:

                     (45)

Вид выражения (45) говорит о том, что в четырехмерных пространствах Галилея метрический тензор имеет недиагональный вид и принципиально не совпадает с видом (4).

Таким образом, для пространств Пуанкаре-Лоренца метрический тензор не зависит от скорости, а для четырехмерных пространств Иванова и Галилея метрический тензор принимает недиагональный вид и его компоненты зависят от скорости системы отсчета.

10. Инвариантность уравнений Максвелла относительно координатных преобразований Иванова.

Уравнения Максвелла в пустоте имеют вид (14a) и (14b). Как известно, эта форма представления уравнений Максвелла не меняется при координатных преобразованиях Пуанкаре-Лоренца. Но нас интересует – изменится или нет вид уравнений (14a) и (14b) при координатных преобразованиях Иванова?

Проанализируем уравнения (14a). Левая часть этого уравнения представляет собой антисимметричный тензор ранга 3 ковариантный по трем индексам. В четырехмерном пространстве такой тензор имеет только 4 компоненты. Все остальные компоненты равны нулю из-за его антисимметричности по всем трем индексам. В левой же части уравнения (14a) стоит нуль. А это означает, что и эти четыре компоненты также равны нулю. В итоге наш рассматриваемый тензор в неподвижной системе координат представляет собой просто нулевую матрицу ранга 3. А как известно, если нулевую матрицу ранга 3 подвергать линейным преобразованиям, то после таких преобразований на выходе все равно будет нулевая матрица. Поясним это более подробно. Введем обозначения:

– антисимметричный тензор ранга 3 ковариантный по трем индексам в неподвижной системе координат K.

– антисимметричный тензор ранга 3 ковариантный по трем индексам в подвижной системе координат K’.

По определению:

                 (46a)

              (46b)

Антисимметричный тензор ковариантный по трем индексам будет преобразовываться как произведение трех ковариантных векторов (9). Обратим внимание на выражение (9b). Тензор  в неподвижной системе координат согласно (14a) представляет собой нулевую матрицу ранга 3, т.е. . Этот тензор подвергается трем преобразованиям типа  за счет перехода в подвижную систему координат в соответствии с правилом (9b). Вне всяких сомнений после такого тройного преобразования “на выходе” мы получим также нулевую матрицу, т.е. . Или что то же самое: . (Образно говоря, если нуль умножить на любое конечное число, то после умножения всегда получится нуль). Данная ситуация будет иметь место как для преобразований Пуанкаре-Лоренца, так и для альтернативных преобразований Иванова. Более того, это будет выполняться для любых линейных координатных преобразований. Тем самым мы математически доказываем, что уравнения Максвелла в форме (14a) не меняют своего вида при координатном преобразовании Иванова.

Теперь проанализируем уравнения (14b). Левая часть этого уравнения представляет собой контравариантный вектор. А правая часть указывает, что все его четыре компоненты равны нулю. В силу этого можно применить прием, использовавшийся при анализе уравнений (14a). Но мы будем использовать другой способ. После подстановки (8a) и (10b) в (14b) получим:

                (47a)

Откуда с учетом того, что , имеем:

                        (47b)

Умножим обе части уравнения (45b) на , просуммируем по индексу i и, учитывая условие , обнаружим:

                (47c)

Уравнение (45c) за счет смены индексов приводится к виду:

                 (47d)

Последнее означает, что при рассматриваемых нами координатных преобразованиях вид уравнений (14b) не меняется. В выражениях (47a) вид матриц  и  не конкретизирован, поэтому все вышеизложенное будет справедливо как для преобразований Пуанкаре-Лоренца, так и для альтернативных преобразований – преобразований Иванова. Более того, это будет выполняться для любых линейных координатных преобразований, для которых . Тем самым мы математически доказываем, что уравнения Максвелла в форме (14b) не меняют своего вида при координатном преобразовании Иванова.

Таким образом, подводя итоги анализа обеих уравнений (14a) и (14b) можно сделать заключение, что координатные преобразования Иванова не меняют вида уравнений Максвелла в форме (14) и (12) для электромагнитного поля. Иными словами, уравнения Максвелла в форме (14) и (12) инвариантны по отношению к координатным преобразованиям Иванова. Мало того, уравнения Максвелла в форме (14) и (12) будут инвариантны по отношению к любым линейным координатным преобразованиям, для которых существует обратное преобразование, в том числе и по отношению к преобразованиям Галилея! Значит популярное “накатанное” требование инвариантности стандартных уравнений Максвелла по отношению к новым координатным преобразованиям (выдвигаемое со стороны ряда ученых или часто высказываемое при обсуждении в Интернете) – не является определяющим, главенствующим и не отражает сути дела.

Существует другое представление уравнений Максвелла – через четырехмерный вектор-потенциал. Поэтому мы обязаны проанализировать и это представление. Когда функция электромагнитного поля описывается 4-х вектором, уравнения движения ЭМ поля имеют вид:

                  (48a)

При условии Лоренца:

Предполагается также, что:

На волновое уравнение (48a) накладывается требование неизменности его вида в разных инерциальных системах. Это дополнительное условие заключается том, что в любой инерциальной системе координат волновое уравнение (48a) всегда должно иметь вид уравнения Даламбера:

               (48b)

Таким образом, определяющим требованием является не требование инвариантности вида уравнений Максвелла, а условие неизменности вида уравнения для волны в разных системах отсчета. Именно эту сторону постоянно подчеркивал Фок.

Это дополнительное требование можно реализовать разными путями. В частности, в специальной теории относительности метрический тензор  в любой инерциальной системе координат обязан иметь вид:

 = const                (49)

Выше было показано, что преобразования Пуанкаре-Лоренца удовлетворяют условиям (49), а преобразования Иванова условиям (49) не удовлетворяют. Это значит, что применяя координатные преобразования Иванова, только в одной системе координат вид волнового уравнения будет совпадать с (48b), а во всех остальных это будет совершенно другой вид, абсолютно не совпадающий с (48b).

В итоге координатные преобразования Иванова необычайно усложняют наши волновые уравнения и на смену простоты приходят большие сложности.

Значит ли это, что мы должны остановиться только на преобразованиях Пуанкаре-Лоренца и больше не рассматривать какие-то другие или запретить всем не изучать остальные. Нет, конечно! К примеру, мы можем подвергнуть небольшой реконструкции преобразования (18) Иванова и рассмотреть следующие:

                     (50)

Здесь – произвольная функция, зависящая от , но не зависящая от координат. Назовем эти новые преобразования – “акустическими” преобразованиями Иванова, поскольку “родились” они из анализа закономерностей для акустических волн. Можно убедиться, что “акустические” преобразования Иванова (50) оставляют неизменным и вид всех уравнений Максвелла, и вид волнового уравнения (48b) для электромагнитного поля. Т.е. выполнены все требования, касающиеся инвариантности! В частном случае, когда , соотношение (50) переходит в преобразование Пуанкаре-Лоренца. Следовательно, “акустическое” преобразование (50) Иванова является преобразованием более общего типа, частным случаем которого является преобразование Пуанкаре-Лоренца. На эту сторону обращает внимание и Невесский Н. в статье [4].

Этот пример наглядно демонстрирует, что все же существует класс новых преобразований, удовлетворяющий всем стандартным требованиям релятивизма. А поиск новых преобразований не такое уж безнадежное дело.

11. Ограничения на линейные координатные преобразования.

Сформулируем более точно ограничения, накладываемые на линейные координатные преобразования, оставляющими инвариантными волновые уравнения.

1. Координатные преобразования должны иметь линейную форму по координатам. Коэффициенты преобразования не зависят от координат.

2. Должны существовать обратные координатные преобразования в том смысле, что произведение матриц прямого и обратного преобразований представляет собой единичную матрицу.

3. При переходе к классической механике, когда скорость света можно положить равной бесконечности, рассматриваемые альтернативные релятивистские преобразования должны переходить в галилеевские (в базисе [X, Y, Z, T]).

4. Метрический тензор во всех инерциальных системах с точностью до постоянного множителя должен совпадать с (4).

Отметим, что новые “акустические” координатные преобразования Иванова (50) удовлетворяют всем вышеперечисленным четырем требованиям.

12. Область применения “Акустических” преобразований Иванова.

В физике ультра-высоких энергий возникают такие физические ситуации, когда под сомнение ставится применимость преобразований Пуанкаре-Лоренца на сверх малых расстояниях и активно ведется поиск других альтернативных, к примеру, с применением математического аппарата Финслеровых пространств. Обнаружение того факта, что волновые уравнения инвариантны по отношению к гораздо более широкому классу линейных координатных преобразований (‘акустическим” преобразованиям Иванова), снимает общепринятые ограничения и разрешает исследовать “акустические” преобразования в той физической ситуации, где стандартные преобразования СТО не удовлетворяют требованиям эксперимента или теории.

13. Координатные преобразования в акустике.

“Акустические” преобразования (50) имеют свои корни в акустике. Поэтому рассмотрим повнимательнее – как “работают” преобразования координат для волн в акустике для ряда частных случаев.

Случай A. Источник волн неподвижен, движется наблюдатель.

Фаза плоской волны от неподвижного источника, распространяющейся в направлении оси X, равна:

              (51)

Пусть наблюдатель перемещается в положительном направлении оси X.

Тогда правила пересчета координат будут следующими (оговариваем, правила не релятивистские):

              (52a)

 (52b)

где: – скорость наблюдателя.

Делаем проверку. Матрица прямого преобразования имеет вид:

                        (53a)

Матрица обратного преобразования имеет вид:

                        (53b)

Прямой проверкой убеждаемся, что . Следовательно, формально правомерно принимать (53a) в качестве матрицы прямого преобразования.

Полагаем, что фаза волны не зависит от координатного преобразования. Подставляя (53a) в (51) и учитывая инвариантность фазы , находим, что для подвижной системы справедливо:

                       (54)

,                        (55a)

где: , k’ – частота и волновой вектор, регистрируемые движущимся наблюдателем. Для наблюдателя, движущегося в отрицательном направлении оси X, регистрируемые энергетические характеристики волны будут несколько иные:

,                        (55b)

В целях дальнейшего сопоставления представим формулы (55a) и (55b) в виде:

,                (55c)

Для наглядности точки, соответствующие (55a) и (55b), отобразим на графике в пространстве волнового вектора. Это будут точки f и g на рис 1.

Рис 1. Пространство волнового вектора. По оси абсцисс – волновой вектор, по оси ординат – частота.

На рис 1 использованы следующие обозначения:

а – что регистрирует неподвижный наблюдатель при неподвижном источнике;

f – что регистрирует наблюдатель, удаляющийся от неподвижного источника;

g – что регистрирует наблюдатель, приближающийся к неподвижному источнику;

с – что регистрирует неподвижный наблюдатель, когда источник приближается к нему;

b – что регистрирует неподвижный наблюдатель, когда источник удаляется от него;

d – что регистрирует наблюдатель, движущийся к источнику, а источник одновременно движется к наблюдателю;

e – что регистрирует наблюдатель, движущийся от источника, а источник одновременно движется от наблюдателя;

F – дисперсионная кривая для неподвижного наблюдателя;

G – дисперсионная кривая для подвижного наблюдателя -X;

H – дисперсионная кривая для подвижного наблюдателя +X;

В итоге из формул (55a), (55b), а также и из рис 1 мы видим, что для нашего случая [A] возникают волны с разными частотами, но с одинаковыми волновыми векторами.

Случай B. Источник волн движется, а наблюдатель неподвижен.

Пусть источник располагается очень далеко в отрицательной области X. Оттуда он перемещается в положительном направлении оси X (к наблюдателю).

В этом случае будет пересчитываться не координата X, а время t. Правила пересчета будут следующими (оговариваем, правила не релятивистские):

                      (56a)

               (56b)

где: – скорость источника.

Делаем проверку. Матрица прямого преобразования имеет вид:

                 (57a)

Матрица обратного преобразования имеет вид:

                  (57b)

Прямой проверкой убеждаемся, что . Следовательно, формально правомерно принимать (57a) в качестве матрицы прямого преобразования. Подставляя (57a) в (51) и учитывая инвариантность фазы , находим, что для источника, движущегося к наблюдателю, справедливо:

,                        (58a)

где: , k’ – частота и волновой вектор, регистрируемые наблюдателем

Для источника, движущегося от наблюдателя, регистрируемые энергетические характеристики волны будут несколько иные:

,                        (58b)

Представим формулы (58a) и (58b) в виде:

,                (58c)

Для наглядности отобразим эти две физические ситуации в пространстве волнового вектора K. Это будут точки с и b на рис 1. В итоге мы видим, что для нашего случая [B] возникают волны с одинаковыми частотами, но с разными волновыми векторами.

Случай C. Источник волн со скоростью V движется к наблюдателю, а наблюдатель в свою очередь со скоростью V движется к источнику. В этом случае правила координатных преобразований (напоминаем – мы работаем по правилам акустики) имеют вид:

              (59a)

                (59b)

Делаем проверку. На основании (59a) и (59b) запишем вид матрицы прямого преобразования:

                (60a)

А вид матрицы обратного преобразования диктуется физикой явления (обратимостью) и с математической точки зрения она будет удовлетворять условию

Таким образом:

                                (60b)

Произведение прямой и обратной матриц будет равно:

Последний результат говорит о том, что наши матрицы  и  не нормированы на единицу, и одновременно указывает способ – как их нормировать. Без такой нормировки наши последующие вычислительные действия с матрицами  и  будут некорректны. Для нормировки мы будем использовать множитель

.                        (60с)

Поэтому вид матриц после такой нормировки будет следующим:

                        (61a)

                (61b)

Полученная нами матрицы (61a) полностью совпадает с матрицей прямых релятивистских преобразований Пуанкаре-Лоренца.

Примечательным во всем этом является тот факт, что мы вывели релятивистские правила Пуанкаре-Лоренца из правил работы с волнами в акустике. Значит, акустика в зародыше уже содержит их. Вот эту-то сторону в акустике Юрий Николаевич интуитивно чувствует и настойчиво пытается высветить связь акустики с релятивизмом.

Для регистрируемых частоты и волнового вектора для случая [C] получаем:

,                        (62)

Сопоставление формул (62), (55c), (58c) указывает на объединение (синтез) в (62) общих свойств, присущих (55c) и (58c). Свойства случая [A] и свойства случая [B] объединились в случае [C], обеспечив в этом синтезе реализацию соотношений (62). Точки <g> и <с> на рис 1 сближаются и переходят в точку <d>, а точки <b> и <f> также сближаются и переходят в точку <c>. В результате точки <e>, <a>, <d> лежат на одной и той же дисперсионной кривой F, для которой скорость волн равна одной и той же величине c. Все в точном соответствии с правилами Пуанкаре-Лоренца.

Обратим внимание на еще один интересный момент – имеются две физические ситуации:

– источник покоится, наблюдатель движется (ситуация S1);

– источник движется, наблюдатель покоится (ситуация S2);

Эти две ситуации в акустике различаются и мы рассмотрели их в случаях [A] и [B]. В пространствах Иванова физические ситуации S1 и S2 также различаются и им соответствуют разные координатные преобразования  и . В пространствах Пуанкаре-Лоренца эти две ситуации принципиально не различаются. Это своего рода скрытая симметрия между наблюдателем и источником в этих пространствах и она априори закладывается в исходных правилах преобразования. Это и есть рассмотренный нами случай [C].

Взгляд со стороны акустики позволяет увидеть новые и неожиданные стороны пространств Пуанкаре-Лоренца. А именно, когда c акустической точки зрения делается утверждение типа: [наблюдатель движется со скоростью +V], то это неявно предполагает, что [источник волн будет двигаться со скоростью -V], хотя такого прямого утверждения в исходной постановке нет. Акустик мог бы сказать и так – это есть правило по умолчанию! Но именно это неявное правило “формирует” продольное сжатие или растяжение и обеспечивает симметрию между наблюдателем и источником. Вот по этой причине дисперсионная кривая F (см. рис 1) одна и та же, как для неподвижного наблюдателя, так и для “движущегося наблюдателя”.

Таким образом, обозревая “здание СТО”, из “здания акустики” (со стороны) мы начинаем глубже понимать внутреннее устройство пространств Пуанкаре-Лоренца.

14. Координатные преобразования в теории гравитации.

В теории электромагнитного поля в качестве функции поля можно рассматривать 4-х мерный вектор потенциал. Сделаем допущение, что гравитационное поле по аналогии можно описывать не метрическим тензором (ранга 2) в римановом пространстве, а симметричным тензором (ранга 2) в псевдоэвклидовом пространстве. Примерно так поступает Логунов А.А. в релятивистской теории гравитации [5]. В таком случае мы можем ставить следующий физический вопрос. Если пробное тело с массой m находится в статическом гравитационном потенциале , то каков будет гравитационный потенциал, “воспринимаемый” этим пробным телом, в случае, когда оно движется со скоростью V. Для ответа на данный вопрос мы можем применять уже развитую идеологию подвижного и неподвижного наблюдателей. Опираясь на эту позицию нужно сделать переход от неподвижной системы к движущейся и связанной с этим пробным телом. В неподвижной системе наша функция гравитационного поля имеет вид:

                      (63)

Правила координатных преобразований для симметричного тензора точно такие же, что и для антисимметричного. Поэтому для подвижной системы на основании (8) имеем:

                                 (64a)

В качестве преобразования  выберем преобразования Пуанкаре-Лоренца (11a). В этом случае после суммирования в (64a) получим:

                         (64b)

В обычных обозначениях правило для “пересчета” скалярного гравитационного потенциала выглядит так:

                             (64c)

здесь:

– скалярный потенциал гравитационного поля в неподвижной системе

– скалярный потенциал гравитационного поля в подвижной системе.

Раскрывая выражение для  приходим к физически ясному выражению:

                                     (64d)

Выражение (64d) указывает нам, что скалярный потенциал гравитационного поля зависит не только от расстояния R до гравитирующего тела, но и от скорости пробного тела. А теперь обратим внимание на следующую работу [6]. Задолго до создания специальной теории относительности Пауль Гербер опубликовал статью “Пространственное и временное распространение гравитации”. В своем анализе он исходил из того, гравитационное воздействие одного тела на другое происходит с конечной скоростью – со скоростью света. Учет именно этого обстоятельства через запаздывание позволил ему получить формулу типа (64d). Далее применяя уравнения движения по Лагранжу с использованием функции типа (64d) он рассчитывает величину отклонения перигелия для Меркурия. С современной точки зрения его математика не обладает таким качеством, как ковариантность. Его математику критиковал В. Паули в своем обзоре “Теория относительности”. Однако Гербер рассчитал, что отклонение перигелия для Меркурия равно 41’’ за столетие. А это цифра очень близкая к экспериментальной. Такой несомненный успех Гербера в вычислении отклонения перигелия, по всей вероятности, связан с его идеей о запаздывании гравитационных сигналов и ее оптимальной реализацией на тот исторический момент. При современном подходе мы постулируем (63) и применяем преобразования (64a), иными словами, мы стремимся активно применять симметрии. Но мы должны осознавать, что применение координатных преобразований к гравитации является всего лишь современным математическим способом представления идеи Гербера о запаздывании гравитационных потенциалов.

А теперь мы можем пофантазировать – в преобразованиях типа (64a) вместо преобразований Пуанкаре-Лоренца мы можем применять и другие альтернативные координатные преобразования, к примеру, “акустические” преобразования Иванова (50), не только глобальные, но и локальные. В таком случае гравитация может изучаться совершенно с новой и неожиданной стороны. Верный это путь или нет – сейчас пока не ясно. Во всяком случае появляется новая область для исследований.

15. Сжимание стоячих волн.

В книге много внимания уделяется явлению сжимания стоячих волн. Разберемся с этим явлением подробнее. Нас будет интересовать такой вопрос: если мы организовали соответствующие физические условия для интерференции двух волн и образуются стоячие волны, то в какой физической ситуации расстояние между узлами или пучностями уменьшается. Иными словами, в каких случаях поле стоячих волн “сжимается”?

Случай 1.

Рассмотрим первый случай: источник волн неподвижен, движется наблюдатель. Этот случай мы уже анализировали выше и нашли, что движущийся наблюдатель будет регистрировать следующие энергетические характеристики волн: когда наблюдатель движется к источнику:

, ,                                 (65a)

когда наблюдатель движется от источника:

,                                  (65b)

Это две волны с разными частотами и с одинаковыми длинами волн.

Выпишем выражения для фаз:

                          (65c)

                          (65d)

Результирующее волновое поле будет эквивалентно произведению двух волн с фазами:

 и               (65e)

Подставляя (65с) и (65d) в (65e) находим:

,                                 (65f)

откуда следует, что расстояние между узлами или пучностями стоячей волны не будет зависеть от , но зато вся интерференционная картина будет “ползти” со временем в положительном направлении оси X.

Случай 2.

Рассмотрим второй случай: источник волн движется по отношению к неподвижному наблюдателю. Этот случай мы уже анализировали выше и нашли, что неподвижный наблюдатель будет регистрировать следующие энергетические характеристики волн: когда источник движется к наблюдателю:

, ,                                (66a)

когда источник удаляется от наблюдателя:

,                                  (66b)

Это две волны с одинаковыми частотами и с разными длинами волн.

Выпишем выражения для фаз:

                                     (66c)

                                     (66d)

Результирующее волновое поле будет эквивалентно произведению двух волн с фазами:

 и               (66e)

Подставляя (66с) и (66d) в (66e) находим:

,                  (66f)

откуда следует, что расстояние между узлами или пучностями стоячей волны не будет зависеть от .

Случай 3.

Рассмотрим третий случай: источник волн и наблюдатель неподвижны, а движется та материальная среда, в которой распространяются звуковые волны.

Этот случай не эквивалентен случаю 1, и не эквивалентен случаю 2. Эта совершенно новая физическая ситуация; она в чем то напоминает изменение коэффициента преломления звуковых волн и описывается через изменение скорости распространения этих волн в материальной среде. Для волны, распространяющейся противоположно направлению движения среды:

,                              (67a)

Для волны, распространяющейся по направлению движения среды:

,                              (67a)

Это две волны с одинаковыми частотами и с разными длинами волн.

Выпишем выражения для фаз:

                               (67c)

                               (67d)

Результирующее волновое поле будет эквивалентно произведению двух волн с фазами:

 и               (67e)

Подставляя (67с) и (67d) в (67e) находим:

,                  (67f)

откуда следует, что расстояние между узлами или пучностями стоячей волны будет зависеть от скорости движения среды. Акустические опыты Юрия Николаевича также это подтверждают. В его опытах перемещение воздушных масс (как носителя волн) обеспечивалось наличием ветра.

Таким образом в акустике сжатие поля стоячих акустических волн происходит только в случае движения материальной среды-носителя. А за счет движения наблюдателя или источника сжатия поля стоячих волн не происходит.

Заметим, что рассматриваемый третий случай родственен случаю распространения электромагнитных волн в движущейся жидкости. По этой причине эффект сжатия стоячих электромагнитных волн можно ожидать в движущихся материальных средах . В литературе имеются описания интерференционных опытов со светом, распространяющимся в потоках жидкости. Результаты этих опытов можно трактовать с позиции сжимания поля стоячих волн. Но эффекта сжатия стоячих свободных электромагнитных волн в пустоте никто не обнаружит по той простой причине, что обе волны (волна [+] и волна [-]) в пустоте лежат на одной и той же дисперсионной прямой. Это точки <d> и <e> на прямой F (рис 1), поэтому стоячая волна из этих двух свободных волн с разными частотами и разными длинами волн никогда не возникает.

16. Дискретные координатные преобразования.

Выше, привлекая только правила акустики, мы вывели правила преобразования Пуанкаре-Лоренца. В процессе получения этих правил для “нормировки” матриц преобразования (60a) и (60b) использовался нормирующий множитель:

.

Однако формально можно использовать и другой множитель:

.                                 (68)

Если мы будем использовать нормирующий множитель (68), то правило прямых координатных преобразований выглядит следующим образом:

                      (69a)

Для выяснения того, что за этим кроется, представим (69a) в виде:

                                    (69b)

где:

R – радиус-вектор до преобразования,

R’ – радиус-вектор после преобразования,

L – матрица первого преобразования,

I – матрица второго преобразования.

Матрицы L и I имеют вид:

                        (69c)

                 (69d)

Матрица (69c) представляет собой матрицу непрерывного координатного преобразования Пуанкаре-Лоренца, а матрица (69d) по своему виду выражает инверсию одновременно всех координат. Такое новое преобразование относится к классу дискретных координатных преобразований. Все уравнения Максвелла и волновое уравнение Даламбера инвариантны по отношению к преобразованию типа инверсии. Из физики мы уже знаем, что за всеми симметриями кроется некий закон сохранения. Отсюда появляется следующий естественный вопрос для исследователя – какой закон сохранения кроется за симметрией, представленной формулами (69d) и (69b)?

Появление дискретных координатных преобразований из рассмотрения волн в акустике лишний раз подтверждает, что акустика может приносить новые научные результаты и этим мы обязаны Иванову Юрию Николаевичу.

17. Заключение.

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

– найдены обратные координатные преобразования Иванова;

– показан способ вычисления напряженностей электрического и магнитного полей в случае координатных преобразований Иванова;

– математически показано, как проявляются координатные преобразования Иванова в эффектах Допплера;

– в пространствах Иванова известное релятивистское правило сложения скоростей по Эйнштейну-Лобачевскому не выполняется, вместо него существует новое правило;

– строго математически доказана неинвариантность волнового уравнения движения ЭМ поля по отношению к координатным преобразованиям Иванова;

– в мире малых и достаточно больших скоростей мы не можем отказаться от преобразований Пуанкаре-Лоренца и вместо них применять координатные преобразования Иванова; в мире ультра-высоких скоростей возможность такой замены имеется, но только для “акустического” преобразования (50) Иванова;

– сформулированы требования для класса более общих координатных преобразований, чем преобразования Пуанкаре-Лоренца;

– продемонстрирован вывод преобразований Пуанкаре-Лоренца из правил акустики;

– указан способ возможного применения “акустического” преобразования (50) Иванова в гравитации;

– указана та физическая область, где для электромагнитных волн можно ожидать эффекта сжатия стоячих волн по Иванову;

– координатные преобразования являются той симметрией, которая помогает отвечать на многие физические вопросы.

18. Использованная литература.

1. Ритмодинамика, Ю.Н. Иванов, M., 2007;

2. Теория поля, Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц, M., 1967;

3. Теория относительности, В Паули, M., 1991;

4. “Акустические” координатные преобразования Иванова Ю.Н., Невесский Н., Статья на сайте “Ритмодинамика”;

5. Релятивистская теория гравитации, A.A. Логунов, УФН, 1990, Т. 160, вып. 8, стр. 135;

6. Пространственное и временное распространение гравитации, П. Гербер, (перевод Й. Керна), http://bourabai.narod.ru/articles/gerber/gerber_rus.htm